Definición
intuitiva de un conjunto
1.6.1. En matemáticas,
un par ordenado es un par 
de objetos 
y 
tal que si 
es otro par
ordenado, y serán iguales si y
solo si 
y 
. La idea de esta
descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado
importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de
par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial
de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad
existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos,
aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado se define por
de objetos y tal que si es otro par
ordenado, y serán iguales si y
solo si y . La idea de esta
descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado
importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de
par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial
de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad
existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos,
aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado se define por
para todo
e 
Para ver que esta
definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que
si y solo si y .para cualesquiera
, , 
, 
. Sea pues . Entonces
y 
o 
y 
.Si
, todo se reduce
fácilmente a 
considerado que
dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si 
, entonces no puede
ser y , pues si resulta 
por definición de
la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de
ser y , con lo que
claramente , además de que , pues suponer que 
nos lleva de nuevo
a cuando la hipótesis
dice lo contrario.
La definición de par ordenado anterior
se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.
Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por
para todo
e mostrando que en ese
caso también se cumple si y solo si y .para cualesquiera
, , y . Esta definición de par
ordenado la dio Weiner en 1914.Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si
y 
, entonces 
.
Probar que, más generalmente, si y 
, entonces 
1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número
de componentes,
mediante la ecuación
.1.6.3. Sean
e dos conjuntos. El
producto cartesiano de e es el conjunto 
definido por
y 
.Es decir,
es el
conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de y segundo componente un
elemento de .Dados cualesquiera dos conjuntos
, , 
, tenemos
( P-1 ) 
( P-2 ) 
( P-3 ) 
( P-4 ) 
si
y solo si 
o 
si
y solo si o
( P-5 ) 
y 
si y solo
si 
y si y solo
si 
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